Անի Միրզոյան

Եգիպտական կոտորակներ

Եգիպտական անվանում են 1/n տեսքի կոտորակները, որտեղ n-ը բնական թիվ է: Այսպիսի կոտորակները նաև անվանում են հիմնական կամ ալիքվոտային (լատիներեն aliquot՝ մի քանի) կոտորակներ: Հին եգիպտական հաշվողները ինչ-ինչ պատճառներով առանձնահատուկ սեր ունեին մեկ համարիչով կոտորակների նկատմամբ:

Բրիտանական թանգարանում պահվում է դպիր Ահմեսի կողմից կազմված մի պապիրուս, որը թվագրվում է մոտ մ.թ.ա. 1650-1700 թվականները: Այդ պապիրուսի խնդիրներից մեկը՝ 7 հացը 8 մարդու միջև հավասարապես բաժանելը, լուծվում է հին եգիպտական մաթեմատիկային բնորոշ եղանակով. յուրաքանչյուր քաղցած մարդ պետք է ստանա մեկ հացի 1/2+1/4+1/8 բաժնեմասը՝ արտահայտված ալիքվոտային կոտորակներով:

Մեկ այլ խնդրում պահանջվում է գտնել այնպիսի n բնական թիվ, որ՝

2/73 =1/60 + 1/219 + 1/292 +1/n

Երբ 1997 թվականին այս խնդիրը Մոսկվայի մաթեմատիկական օլիմպիադայում առաջադրվեց վեցերորդ դասարանցիներին, ոչ բոլորը կարողացան հաղթահարել այն: Ըստ երևույթին, ժամանակակից դպրոցականներից ոչ բոլորն են օժտված դժվարությունները հաղթահարելու այնպիսի համառ մտածելակերպով, ինչպիսին ունեին հին եգիպտացիները:

Շատ դեպքերում որևէ կանոնավոր կոտորակ տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով ներկայացնելու համար բավական է կարողանալ այդպիսի գումարի վերածել 2/n տեսքի ցանկացած կոտորակ:

Օրինակ՝ իմանալով հետևյալ վերլուծումները՝

2/15 = 1/10 + 1/30,2/25 = 1/15 + 1/75, 2/75 = 1/50+1/150

7/25 կոտորակը կարող ենք հեշտությամբ ներկայացնել տարբեր հայտարարներով եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով.

7/25 = 1/25 + 2/25 + 4/25 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 2/15 + 2/75 = 1/10 + 1/15 + 1/25 + 1/30 + 1/50 + 1/75 + 1/150

Ահմեսի պապիրուսին նախորդում է մի աղյուսակ, որտեղ 2/n տեսքի բոլոր կոտորակները (3-ից մինչև 101 կենտ n թվերի համար) ներկայացված են եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով: Այդ աղյուսակը օգնում էր կատարել բարդ թվաբանական հաշվարկներ՝ համաձայն ընդունված կանոնների: Ըստ երևույթին, դպիրներն այն անգիր էին սովորում, ճիշտ այնպես, ինչպես հիմա դպրոցականներն են անգիր անում բազմապատկման աղյուսակը:

Կամայական կոտորակի վերլուծումը ալիքվոտ կոտորակների գումարի միակը չէ: Օրինակ՝

3/25 = 1/15 + 1/25+1/75 = 1/10 + 1/50

Եգիպտացիները ձգտում էին օգտագործել հնարավորինս քիչ քանակությամբ գումարելիներ՝ հնարավոր ամենափոքր հայտարարներով (այսինքն՝ ամենամեծ կոտորակներով): Թե կոնկրետ ինչպիսի եղանակներից են նրանք օգտվել դրա համար, չգիտենք։ Ներկայումս ապացուցված է, որ ցանկացած դրական ռացիոնալ թիվ կարելի է արտահայտել տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարով, ինչպես նաև այդ նպատակների համար առաջարկվել են մի քանի գործնական ալգորիթմներ (ընդհանուր առմամբ, այս ալգորիթմները երբեմն տալիս են տարբեր վերլուծություններ)։

Ցանկացած r = d/n (0 < r < 1) ռացիոնալ թիվ տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի վերածելու համար Ֆիբոնաչիի (1180-1240) ալգորիթմում կիրառվում է հաջորդական մոտարկումների մեթոդը: Ընտրում ենք այնպիսի a₁ թիվ, որ 1/a₁ կոտորակը լինի r-ից փոքր կամ հավասար ամենամեծ ալիքվոտ կոտորակը՝1/a₁≤r<1/a₁-1: Այդ դեպքում r₁=r-1/a₁=ma₁-n/na₁=m₁/n₁ մնացորդը բավարարում է 0≤r₁<1/a₁a₁-1 , 0<ma₁-n=m₁<m անհավասարություններին: Հաջորդ a₂ թիվն ընտրում ենք այնպես, որ 1/a₂ կոտորակը լավագույնս մոտենա r₁ մնացորդին ներքևից` 1/a₂≤r₁<1/a₂-1 , այնպես, որ a₂≥a₁²-a₁+1:

Հետո նշանակենք r₂=r₁-1/a₂=m₁a₂-n₂/n₁a₂=m₂/n₂ և 0<m₁a₂-n₁=m₂<m₁: Հետո r₂ –ի միջոցով որոշում ենք a₃-ը և այդպես շարունակ: Քանի որ մնացորդների համարիչների m_i հաջորդականությունը նվազում է, ապա ինչ-որ i = k<m քայլում կստանանք r_k=1/n_k=1/a_k : Արդյուքում վերջնական վերլուծությունը կունենա հետևյլ տեսքը՝

r=1/a₁+1/a₂+…+1/a_k

ընդ որում a_i թվերը բավարարում են a_i+1≥a_i²-a_i+1, a_i≥2 , i=1, 2, …, k անհավասարություններին։

Մ. Վ. Օստրոգրադսկու (1801-1862) առաջարկած ալգորիթմը նման է Ֆիբոնաչիի ալգորիթմին և նմանապես թույլ է տալիս ստանալ r=1/b₁+1/b₁b₂+…+1/b₁b₂…b_k վերլուծությունը, որտեղ b_i –բնական թվեր են, b_i+1≥b_i և b_i≥2 ։

Ուրիշ ալգորթմներ էլ կան։

Հետաքրքիր ալգորիթմներից նշենք 1985 Ն. Յու. Նեցվետաևի առաջարկած մեթոդը, որը հնարավորություն է տալիս մեկը ներկայացնել տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով՝

1=1/f₁f₃+1/f₂f₄+…+1/f_nf_n+2+1/f_n+1f_n+3

որտեղ f_i –ն ֆիբոնաչիի թվերն են՝ f₁=f₂=1 , f_i+1=f_i+f_i-1:

Ամերիկացի մաթեմատիկոս Օ. Քելլոգին 1915թ․ հրապարակեց այսպիսի խնդիր․ որո՞նք են այն n եգիպտական կոտորակները (կոտորակները կարող են կրկնվել), որոնց գումարը տալիս է 1-ի լավագույն մոտարկումը ներքևից: Օրինակ՝ n = 3 դեպքում լավագույն մոտարկումը տալիս է 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42 գումարը: 1922 թվականին այս խնդիրը լուծեց ամերիկացի մաթեմատիկոս Քորթիսը: Պարզվեց, որ ընդհանուր դեպքում լավագույն մոտարկումը տրվում է հետևյալ շարքի առաջին n անդամների գումարով․

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+․․․

Այս շարքի յուրաքանչյուր անդամի հայտարարը, սկսած երկրորդից, մեկով մեծ է նախորդ հայտարարների արտադրյալից։ Այս կոտորակների հայտարարների հաջորդականությունը հայտնի է Սիլվեստրի (1814-1897) հաջորդականություն անունով և հնարավոր է տալ նաև անդրադարձ բանաձևով՝ a₁=2, a_i+1=a_i²-a_i+1 :

Գիտե՞ք, որ…

Ցանկացած բնական k≥3 թվի դեպքում 1-ը կարելի է ներկայացնել k տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով:

Ցանկացած k≥9 կենտ թվի դեպքում 1-ը կարելի է ներկայացնել կենտ հայտարարներով k տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով, օրինակ՝ k=9 դեպքում՝ 1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/21 + 1/135 + 1/10395։

Մեկը հնարավոր չէ ներկայացնել զույգ թվով կենտ հայտարարներով տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով:

1/n կոտորակը պարզ n-ի համար կարող է ներկայացվել երկու եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով միայն երկու ձևով, իսկ բաղադրյալ n-ի համար՝ ավելի քան երկու ձևով:

2/n կոտորակը պարզ n թվի համար կարող է միայն մեկ ձևով ներկայացվել երկու տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով:

3/n կոտորակը, որտեղ n-ը 3-ի չբաժանվող թիվ է, երկու եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով հնարավոր է ներկայացնել միայն և միայն այն դեպքում, երբ n-ը ունի 3k+2 տեսքի բաժանարար։

4/n տեսքի կոտորակը կենտ n-ի համար կարող է ներկայացվել երկու եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով այն և միայն այն դեպքում, երբ n = m(4k-1), որտեղ m, k-ն բնական թվեր են:

4/n տեսքի կոտորակը կարելի է ներկայացնել երեք եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով (Պ․ Էրդյոշ(1913-1996))։

m<n2 դեպքում (m-ը և n-ը բնկան թվեր են) m/n ռացիոնալ թիվը հնարավոր է ներկայացնել եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով, որտեղ գումարելիների քանակը մեծ չէ 2m-1-ից։

Եթե n=p₁^α₁p₂^α₂…p_k^α_k -ը n բնական թվի կանոնական վերլուծությունն է p₁,p₂, …p_k պարզ արտադրիչների, ապա 1/n կոտորակը երկու (պարտադիր չէ անհավասար) եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով ներկայացնելու եղանակների քանակը հավասար է 1/22α₁+12α₂+1…2α_k+1։

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ տրված թվով եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով կարելի է ներկայացնել միայն վերջավոր թվով եղանակներով։ Ուրիշ կերպ ասած՝ յուրաքանչյուր s թվի համար՝

1/x₁+1/x₂+…+1/x_s=1

Հավասարումը բնական թվերի բազմությունում կարող է ունենալ միայն վերջավոր թվով լուծումներ։ (Վ. Սիերպինսկի, 1882-1969):

Ցանկացած n բնական թվի համար (0,1) թվային միջակայքում գոյություն ունի ռացիոնալ թիվ, որը հնարավոր չէ ներկայացնել n-ից ոչ ավելի տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով։

Կամայական m/n<1 ռացիոնալ թիվ (m-ը և n-ը բնական թվեր են) կարելի է ներկայացնել տարբեր եգիպտական կոտորակների գումարի տեսքով, որոնց հայտարարները չեն գերազանցում n2-ին։

2/3-ից ոչ փոքր կամայական թիվ հնարավոր չէ ներկայացնել բնական թվերի քառակուսիներին հակադարձ վերջավոր թվով տարբեր կոտորակների գումարի տեսքով։

Կամայական դրական ռացիոնալ թիվ, որը փոքր է π²/6-1 –ից կարելի ներկայացնել վերջավոր թվով բնական թվերի քառակուսիներին հակադարձ կոտորակների գումարի տեսքով։

1/n կոտորակը հավասար է 1/pq տեսքի բոլոր կոտորակների գումարին, որտեղ 0<p<q≤n, p+q>n p –ն և q-ն փոխադարձաբար պարզ թվեր են։

Կամայական բնական n թիվ հավասար է 1/i₁i₂…i_kտեսքի բոլոր կոտորակների գումարին, որտեղ 1≤i₁<i₂<…<i_k≤n:

Ցանկացած թվաբանական պրոգրեսիայից կարելի է ընտրել մի քանի անդամներ՝ a₁, a₂, ….,a_nայնպես, որ 1/a₁+1/a₂+…+1/a_n=1

Աչքը և Արևը

Հնում մարդիկ բնության երևույթները պատկերում էին Արևի և աչքի միահյուսմամբ: Եգիպտական դիցաբանության մեջ հաճախ հիշատակվում է Հորուս աստվածը, որը մարմնավորում էր թևավոր Արևը և հանդիսանում ամենատարածված սրբազան խորհրդանիշներից մեկը:

Արևի թշնամիների դեմ ճակատամարտում, որոնք մարմնավորված էին Սեթի պատկերով, Հորուսն սկզբում պարտվում է: Սեթը հանում է նրա հրաշալի աչքը և պատառոտում այն: Սակայն Թոթը՝ գիտության, բանականության և արդարության աստվածը, կրկին հավաքում է աչքի առանձին մասերը՝ ստեղծելով «Հորուսի առողջ աչքը» (Ուաջեթ):

Այս կտրտված մասերի նկարները Հին Եգիպտոսում օգտագործվում էին գրավոր խոսքում՝ մաթեմատիկական կոտորակներ նշանակելու համար (օրինակ՝ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, որոնց գումարը տալիս է 63/64, իսկ պակասող 1/64 մասը բժշկության մեջ խորհրդանշում էր Թոթի կախարդանքը):

₁₁x+aⁿ=k=0nn/kx^ka^n-k

Շարունակել կարդալ “Հունիս ամսվա հաշվետվություն” →